数论（二）

素数

设 。如果 除了 和 之外没有别的因数，则称 是素元。正的素元称为素数。

算术基本定理

任何非零整数 都有素因子分解

其中 （当 时右式规定为 ）， 是相异素数，，而且此分解不论顺序是唯一的。

证明 关于分解的存在性，处理 的情形即可。我们寻求形如 的分解。如果 既非 又非素数，则分解为 ，其中 。继续对 递归地操作，最终可表 为若干个素数的乘积，容许重复。

唯一性仍可简化到 的情形。设 ，其中 是相异素数， 也是相异素数，而 。注意到 当且仅当 ，此时两边都是 。故以下不妨设 。

由于 ，反复应用欧几里得引理可知存在 使得 ；这进一步蕴含 。重排下标后不妨假设 ，必要时等号两边互换，不妨假设 。于是

再次应用欧几里得引理可见 不整除左式，故 。按此递归地论证，即得分解的唯一性。

算术基本定理的推论

• 对于任何素数 和非零整数 ，我们有 当且仅当 在 的素因子分解中出现，相应的指数 由以下性质唯一确定： 而 ，数论中的标准记法如下

  • 设 为素数，我们以符号 表达 而 。

• 考虑正整数 和 ，其中 是相异素数而 ，则

  • 对于任意多个正整数的 和 也有类似结果。

有无穷多个素数

素数列 是数论关切的基本对象；这方面最古老也是最基础的结果是

证明 对任意一列素数 ，考虑

则 ，而且它不被 中任一个素数整除。因此 的素因子分解中必有不同于 的素数。

素数筛

我们试图制造一个筛子。

我们把整数 放进筛子，启动筛子。筛子会把其中的合数全都筛出去，素数全都保留。

筛完之后，筛子里剩下的就是不超过 的全部素数。

埃氏筛

线性筛

Lucy_Hedgehog 算法

• 我们以 表示第 个素数。例如 ，，。
• 设 是实数，以 表示不超过 的素数的个数。
  例如：，若 ；；；。
  我们要计算 。

计算

证明：根据定义，我们有

当 ，即 时，区间 上没有最小素因子 的整数，此时有

当 ，即 时，区间 上最小素因子 的整数的个数是

显然有 。

计算

例如

• ，
• ，
• 。

在 里，我们把 称为大值，把 称为小值。

也就是说，对于 里的每个大值，若把它表作 ，那么 是唯一的。

long long prime_count(long long n) {
    const int k = (int) sqrt(n);
    vector<long long> v; // n, n/2, n/3, ..., n
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        v.push_back(n / i);
    for (int i = n / (k + 1); i >= 1; i--)
        v.push_back(i);
    // 对于 i = 1, 2, ..., k+1 有 n/i == v[i-1]。
    // 对于 i = 1, 2, ..., k 还有，i 是唯一的满足 n/d == n/i 的正整数 d。我们称这些值为大值。
    const int m = (int) v.size();
    vector<long long> f(m);
    for (int i = 0; i < m; i++)
        f[i] = v[i] - 1;
    
    auto [p, lpf] = get_primes(k);
    const int s = (int) p.size();
    for (int i = 0; i < s; i++) {
        f[0] -= f[p[i] - 1] - i;
        if (i == s - 1) break;
        const long long L = (long long) p[i] * p[i];
        const int lim = k / p[i];
        for (int j = p[i + 1] - 1; j < m && v[j] >= L; j++) {
            if (j < k && lpf[j + 1] < p[i + 1]) continue;
            if (j + 1 <= lim) {
                f[j] -= f[(j + 1) * p[i] - 1] - i;
            } else { // v[j] / p[i] <= k
                f[j] -= f[m - v[j] / p[i]] - i;
            }
        }
    }
    return f[0];
}

时间：。

积性函数的前缀和