矩阵及其运算

矩阵

所谓矩阵，就是一个矩形数表，就是我们熟知的二维数组。

设 是正整数。一个 矩阵是指如下的资料

其中 是一个数，称为矩阵 的第 个矩阵元或 -项，而 的矩阵也称为 阶方阵。

我们经常将矩阵 简记为 。

  • 括号内的式子表示矩阵元
  • 括号外的 分别表示括号内的矩阵元所在的行和列的编号

矩阵加法

对于任意两个 矩阵 和 ，定义

矩阵的数乘

对于任意数 和 矩阵 ，定义

一个 矩阵

称为 维行向量。有时也写成 。

一个 矩阵

称为 维列向量。

矩阵乘法

若 ，，则 ，其中

第行第列

  • 注意：只有行数和列数合乎规格的矩阵才能相乘， 暗含着 的列数等于 的行数。
  • 有时也写成 。

定义 阶单位矩阵为如下的 阶方阵

其中对角线矩阵元全为 ，其余留白部分全为 。

容易验证，对于所有 矩阵 都有

矩阵乘法满足以下性质：

  • 结合律 ；
  • 分配律 ，；
  • 线性

其中数 和矩阵 是任意的，前提是矩阵的行数和列数使运算有意义。

对 和 的每个矩阵元进行考察，可见结合律相当于说

下标 的取值范围取决于矩阵尺寸。根据求和符号的基本操作，交换 和 以后，问题归结为证

然而这无非是数的乘法结合律。同理，分配律归结为数的乘法分配律

最后一则性质归结为等式 ，而这又归结为数的乘法交换律和结合律。

矩阵乘法不满足交换律。

设 是 矩阵， 是 矩阵，那么 和 都有意义， 是 阶方阵， 是 阶方阵。

和 一般不相等。

  • 如果 ，这是显然的。
  • 即便 ，即 和 都是 阶方阵，一般来说 和 也不相等。
    例如

用矩阵乘法表述线性方程组

取方程组的系数矩阵 ，并且定义列向量

则原方程组等价于以 为变量的矩阵方程

矩阵写法胜在简洁，而这也为矩阵乘法的定义提供了一部分的解释。

方阵的幂

对于任意正整数 和 阶方阵 ，定义

个

约定 .

由于矩阵乘法满足结合律，我们可以用快速幂算法来计算方阵的幂。

习题 矩阵乘法

洛谷B2105 矩阵乘法
洛谷P3390 矩阵快速幂

利用矩阵乘法计算递推数列的某一项

Fibonacci 数列

，对于 有

这个递推式可以用矩阵乘法来表述

或写成

于是有

等比数列的和

对于任意实数 ，定义数列 ，。有递推式

可以用矩阵乘法表述为

于是有

递推式

用矩阵乘法也可以表述为

于是有

另一个递推式

可以用矩阵乘法表述为

于是有

Sum of Powers

对于任意实数 和非负整数 ，令

有递推式

定义行向量

对于每个 ，有

我们可以写

其中 是一个 阶方阵，其矩阵元可由上面的递推式得出。

例如，当 时，有